Números reales y sus operaciones

Objetivos

• Construir una recta numérica y grafica puntos en ella.
• Usar una recta numérica para determinar el orden de los números reales.
• Determinar el opuesto de un número real.
• Determinar el valor absoluto de un número real.

Definiciones

Un conjunto es una colección de objetos, generalmente agrupados entre llaves \(\{\) \(\}\), donde cada objeto es llamando un elemento. Por ejemplo, \(\{\text{rojo, verde, azul}\}\) es un conjunto de colores. Un subconjunto es un conjunto que consiste en elementos que pertenecen a cierto conjunto. Por ejemplo, \(\{\text{verde, azul}\}\) es un sunconjunto del conjunto de colores antes mencionado. Un conjunto que no teine elementos es llamado conjunto vacío y tiene una notación propia especial, \(\{\) \(\}\) o \(\varnothing\).

Cuando estudiamos matemáticas, nos enfocamos en conjuntos especiales de números. El conjunto de números naturales (o contables), denotado por \(\mathbb{N}\), es

\( \{1,2,3,4,5 , \dots \} \quad \color{Cerulean}{Números\: Naturales} \)

Los tres periodos \((\dots)\) se llama puntos suspensivos e indica que los números continúan sin límite. El conjunto de los números enteros, denotado \(\mathbb{W}\), es el conjunto de los números naturales combinado con cero.

\( \{0,1,2,3,4,5 , \dots\} \quad \color{Cerulean}{Números\: Enteros} \)

El conjunto de enteros, denotado por \(\mathbb{Z}\), consta de números enteros positivos y negativos, así como de cero.

\( \{\dots, -3,-2,-1,0,1,2,3 , \dots\} \quad \color{Cerulean}{Enteros} \)

Observe que los conjuntos de números naturales y enteros son ambos subconjuntos del conjunto de números enteros.

Números racionales, denotados por \(\mathbb{Q}\), se definen como cualquier número de la forma \(\dfrac{a}{b}\), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\) es distinto de cero. Los decimales que se repiten o terminan son racionales. Por ejemplo,

\(0.7= \frac{7}{10} \quad \text{y} \quad 0. \overline{3} =0.3333 \dots = \frac{1}{3}\)

El conjunto de números enteros es un subconjunto del conjunto de números racionales porque cada número entero puede expresarse como una razón del número entero y \(1\). En otras palabras, cualquier número entero se puede escribir sobre \(1\) y se puede considerar un número racional. Por ejemplo,

\(5= \frac{5}{1}\)

Numeros irracionales se definen como cualquier número que no se puede escribir como una razón de dos enteros. Los decimales no terminales que no se repiten son irracionales. Por ejemplo,

\(\pi =3.14159 \dots \quad \text{y} \quad \sqrt{2} = 1.41421 \dots\)

El conjunto de números reales , denotado \(\mathbb{R}\), se define como el conjunto de todos los números racionales combinados con el conjunto de todos los números irracionales. Por tanto, todos los números definidos hasta ahora son subconjuntos del conjunto de números reales. En resumen,

Figura \({1}\): Números Reales

Recta numérica

Una recta numérica real , o simplemente recta numérica, nos permite mostrar visualmente números reales asociándolos con puntos únicos en una recta. El número real asociado con un punto se llama coordenada . Un punto en la recta numérica real que está asociado con una coordenada se denomina gráfico..

Para construir una recta numérica, dibuje una línea horizontal con flechas en ambos extremos para indicar que continúa sin límite. A continuación, elija cualquier punto para representar el número cero; este punto se llama origen .

Figura \({2}\)

Marque longitudes consistentes en ambos lados del origen y etiquete cada marca de verificación para definir la escala. Los números reales positivos se encuentran a la derecha del origen y los números reales negativos se encuentran a la izquierda. El número cero \((0)\) no es ni positivo ni negativo. Normalmente, cada tick representa una unidad.

Figura \({3}\)

Como se ilustra a continuación, la escala no siempre tiene que ser una unidad. En la primera línea numérica, cada marca de verificación representa dos unidades. En el segundo, cada marca representa \(\frac{1}{7}\) de una unidad.

Figura \({4}\)

La gráfica de cada número real se muestra como un punto en el punto apropiado de la recta numérica. A continuación, se muestra una gráfica parcial del conjunto de enteros \(\mathbb{Z}\):

Figura \({5}\)

Ejemplo \({1}\)

Grafica el siguiente conjunto de números reales:

Solución

Grafica los números en una recta numérica con una escala donde cada marca representa \(\frac{1}{2}\) de una unidad.

Figura \({6}\)

Ordenar números reales

Al comparar números reales en una recta numérica, el número mayor siempre estará a la derecha del menor. Está claro que \(15\) es mayor que \(5\), pero puede que no sea tan claro ver que \(-1\) es mayor que \(-5\) hasta que graficamos cada número en un numero de linea.

Figura \({7}\)

Usamos símbolos para ayudarnos a comunicar de manera eficiente las relaciones entre los números en la recta numérica. Los símbolos utilizados para describir una relación de igualdad entre números son los siguientes:

\[\begin{align*} &= \quad \color{Cerulean}{es\ igual\ a} \\ &\neq \quad \color{Cerulean}{no\ es\ igual\ a} \\ &\approx \quad \color{Cerulean}{es\ aproximadamente\ igual\ a} \end{align*}\]

Estos símbolos se utilizan e interpretan de la siguiente manera:

\[\begin{align*} &5=5 \qquad &&\color{Cerulean}{5\ es\ igual\ a\ 5} \\ &0 \neq 5 \qquad &&\color{Cerulean}{0\ no\ es\ igual\ a\ 5} \\ &\pi \approx 3.14 \quad &&\color{Cerulean}{pi\ es\ aproximadamente\ igual\ a\ 3.14} \end{align*}\]

A continuación, definimos símbolos que denotan una relación de orden entre números reales.

\[\begin{align*} &< \quad \color{Cerulean}{Menor\ que} \\ &> \quad \color{Cerulean}{Mayor\ que} \\ &\leq \quad \color{Cerulean}{Menor\ que\ o\ igual\ a} \\ &\geq \quad \color{Cerulean}{Mayor\ que\ o\ igual\ a} \end{align*}\]

Estos símbolos nos permiten comparar dos números. Por ejemplo,

\(-120<-10 \quad \color{Cerulean}{Negativo\ 120\ es\ menor\ que\ negativo\ 10} \)

Dado que la gráfica de \(-120\) está a la izquierda de la gráfica de \(-10\) en la recta numérica, ese número es menor que \(-10\). Podríamos escribir una declaración equivalente de la siguiente manera:

\(-10>-120 \quad \color{Cerulean}{Negativo\ 10\ es\ mayor\ que\ negativo\ 120} \)

De manera similar, dado que la gráfica de cero está a la derecha de la gráfica de cualquier número negativo en la recta numérica, cero es mayor que cualquier número negativo.

\(0>-50 \quad \color{Cerulean}{Cero\ es\ mayor\ que\ negativo\ 50} \)

Los símbolos \(<\) y \(>\) se utilizan para denotar desigualdades estrictas , y los símbolos y se utilizan para denotar desigualdades inclusivas . En algunas situaciones, se puede aplicar correctamente más de un símbolo. Por ejemplo, las dos siguientes afirmaciones son verdaderas:

\(-10<0\ \text{and}\ -10 \leq 0\)

Además, el componente "o igual a" de una desigualdad inclusiva nos permite escribir correctamente lo siguiente:

\(-10 \leq -10\)

El uso lógico de la palabra "o" requiere que solo una de las condiciones sea verdadera: el "menor que" o el "igual a".

Ejemplo \({2}\)

Complete el espacio en blanco con \(<,=\), o \(>:−2 \)____\(-12\).

Solución

Utilice> porque la gráfica de \(-2\) está a la derecha de la gráfica de \(-12\) en una recta numérica. Por lo tanto, \(-2>−12\), que dice "menos dos es mayor que menos doce".

Figura \({8}\)

Respuesta:

\(-2>-12\)

En este texto, a menudo señalaremos la notación equivalente utilizada para expresar cantidades matemáticas electrónicamente utilizando los símbolos estándar disponibles en un teclado. Comenzamos con la notación textual equivalente para desigualdades:

\[\begin{align*} &\geq &&">=" \\ &\leq &&"<=" \\ &\neq &&"!=" \end{align*}\]

Muchas calculadoras, sistemas de álgebra computacional y lenguajes de programación usan esta notación.

Opuestos

El opuesto de cualquier número real \(a\) es \(-a\). Los números reales opuestos están a la misma distancia del origen en una recta numérica, pero sus gráficos se encuentran en lados opuestos del origen y los números tienen signos opuestos.

Figura\({9}\)

Por ejemplo, decimos que el opuesto de \(10\) es \(-10\).

A continuación, considere el opuesto de un número negativo. Dado el número entero \(-7\), el número entero a la misma distancia del origen y con el signo opuesto es \(+7\), o simplemente \(7\).

Figura \({10}\)

Por lo tanto, decimos que el opuesto de \(-7\) es \(-(-7)=7\). Esta idea conduce a lo que a menudo se denomina propiedad doble negativa . Para cualquier número real \(a\),

\(-(-a)=a\)

Ejemplo \({3}\)

¿Qué es lo opuesto a \(-\frac{3}{4}\)?

Solución

Aquí aplicamos la propiedad doble negativa.

\(-(-\frac{3}{4})=\frac{3}{4}\)

Ejemplo \({4}\)

Simplificando \(-(-(4))\)

Solución

Comience con el paréntesis más interno encontrando el opuesto de \(+4\).

\[\begin{align*} -(-(4)) &= -(\color{White}{-(4)} \color{White}{)} \\ &= -(\color{White}{-4} \color{White}{)} \\ &=4 \end{align*}\]

Respuesta

4

Ejemplo \({5}\)

Simplificando: \(-(-(-2))\).

Solución

Aplique la propiedad de doble negativo comenzando con el paréntesis más interno.

\[\begin{align*} -(-(-2)) &= -(\color{White}{-(-2)} \color{White}{)} \\ &= -(\color{White}{2} \color{White}{)} \\ &=-2 \end{align*}\]

Respuesta

-2

Tip

Si hay un número par de signos negativos consecutivos, el resultado es positivo. Si hay un número impar de signos negativos consecutivos, el resultado es negativo.

¡Prueba esto!

Ejercicio \({1}\)

Simplificando: \(-(-(-(5)))\).

Respuesta

-5

Procedimiento:

\[\begin{align*} -(-(-(5))) &= -(\color{White}{-(-(5))} \color{White}{)}\\ &= -(\color{White}{-(-5)} \color{White}{)} \\ &= -(\color{White}{5} \color{White}{)} \\&= -5 \end{align*} \]

Valor absoluto

El valor absoluto de un número real \(a\), denotado \(|a|\), se define como la distancia entre cero (el origen) y la gráfica de ese número real en el número línea. Dado que es una distancia, siempre es positivo. Por ejemplo,

\(|-4|=4 \quad \text{and} \quad |4|=4\)

Tanto \(4\) como \(-4\) están a cuatro unidades del origen, como se ilustra a continuación:

Figura \({11}\)

Ejemplo \({6}\)

Simplificando:

a. \(|-12|\)

b.\(|12|\)

Solución

Tanto \(-12\) como \(12\) están a doce unidades del origen en una recta numérica. Por lo tanto,

\(|-12|=12 \quad \text{y} \quad |12|=12\)

Respuesta

a.\(12\) b.\(12\)

Además, vale la pena señalar que

\(|0|=0\)

El valor absoluto se puede expresar textualmente usando la notación abs\((a)\). A menudo encontramos valores absolutos negativos, como \(-|3|\) o \(-\) abs\((3)\). Observe que el signo negativo está delante del símbolo de valor absoluto. En este caso, trabaje el valor absoluto primero y luego encuentre el opuesto del resultado.

\(\begin{array} { r r r } { - | 3 | } & { } & { - | - 3 | } \\ { \color{White}{\downarrow} } & { \text { and } } & { \color{White}{\downarrow} } \\ { = - 3 } & { } & { = - 3 } \end{array}\)

Trate de no confundir esto con la propiedad doble negativa, que establece que \(-(-7)=+7\).

Ejemplo \({7}\)

Simplificando: \(-|-(-7)|\).

Solución

Primero, encuentra el opuesto de \(-7\) dentro del valor absoluto. Luego encuentra el opuesto del resultado.

\[\begin{align*} -|\color{White}{-(-7)} \color{White}{|} &= -|\color{White}{7} \color{White}{|} \\ &=-7 \end{align*}\]

Respuesta

-7

En este punto, podemos determinar qué números reales tienen un valor absoluto particular. Por ejemplo,

\(|?|=5\)

Piense en un número real cuya distancia al origen es \(5\) unidades. Hay dos soluciones: la distancia a la derecha del origen y la distancia a la izquierda del origen, a saber, \(\{\pm5\}\). El símbolo \((\pm)\) se lee "más o menos" e indica que hay dos respuestas, una positiva y otra negativa.

\(|-5|=5\ \quad \text{y} \quad |5|=5\)

Ahora considere lo siguiente:

\(|?|=-5\)

Aquí deseamos encontrar un valor para el que la distancia al origen sea negativa. Dado que la distancia negativa no está definida, esta ecuación no tiene solución. Si una ecuación no tiene solución, decimos que la solución es el conjunto vacío: \(\varnothing\).

Conclusiones clave

• Cualquier número real puede asociarse con un punto en una línea.
• Cree una recta numérica identificando primero el origen y marcando una escala apropiada para el problema dado.
• Los números negativos se encuentran a la izquierda del origen y los números positivos se encuentran a la derecha.
• Los números más pequeños siempre se encuentran a la izquierda de los números más grandes en la recta numérica.
• Lo opuesto a un número positivo es negativo y lo opuesto a un número negativo es positivo.
• El valor absoluto de cualquier número real es siempre positivo porque se define como la distancia desde cero (el origen) en una recta numérica.
• El valor absoluto de cero es cero.

Ejercicio \({2}\)

Utilice la notación de conjuntos para enumerar los elementos descritos.

1. Las horas en un reloj.
2. Los días de la semana.
3. Los primeros diez números enteros.
4. Los diez primeros números naturales.
5. Los primeros cinco números enteros pares positivos.
6. Los primeros cinco números enteros impares positivos.

Respuesta

1. \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}\)

3. \(\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\)

5. \(\{2, 4, 6, 8, 10\}\)

Ejercicio \({3}\)

Determina si los siguientes números reales son enteros, racionales o irracionales.

1. \(12\)
2. \(−3\)
3. \(4.5\)
4. \(−5\)
5. \(0.3\overline{6}\)
6. \(0.\overline{3}\)
7. \(1.001000100001\dots\)
8. \(1.00\overline{1}\)
9. \(e=2.71828\dots\)
10. \(\sqrt{7}=2.645751\dots\)
11. \(−7\)
12. \(3.14\)
13. \(227\)
14. \(1.33\)
15. \(0\)
16. \(8,675,309\)

Respuesta

1: Entero, Racional

3: Racional

5: Racional

7: Irracional

9: Irracional

11: Entero, Racional

13: Racional

15: Entero, Racional

Ejercicio \({4}\)

Verdadero o falso.

1. Todos los enteros son números racionales.
2. Todos los enteros son números enteros.
3. Todos los números racionales son números enteros.
4. Algunos números irracionales son racionales.
5. Todos los números decimales finales son racionales.
6. Todos los números irracionales son reales.

Respuesta

1: Verdadero

3: Falso

5: Verdadero

Ejercicio \({5}\)

Elija una escala apropiada y grafique los siguientes conjuntos de números reales en una recta numérica.

1. \(\{−3, 0, 3\}\)
2. \(\{−2, 2, 4, 6, 8, 10\}\)
3. \(\{−2, −1/3, 2/3, 5/3\}\)
4. \(\{−5/2, −1/2, 0, 1/2 , 2\}\)
5. \(\{−5/7, 0, 2/7 , 1\}\)
6. \(\{ –5, –2, –1, 0\}\)
7. \(\{ −3, −2, 0, 2, 5\}\)
8. \(\{−2.5, −1.5, 0, 1, 2.5\}\)
9. \(\{0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2\}\)
10. \(\{−10, 30, 50\}\)
11. \(\{−6, 0, 3, 9, 12\}\)
12. \(\{−15, −9, 0, 9, 15\}\)

Respuesta

1. \(\{−3, 0, 3\}\)

Figura \({12}\)

3. \(\{−2, −1/3, 2/3, 5/3\}\)

Figura \({13}\)

5. \(\{−5/7, 0, 2/7 , 1\}\)

Figura \({14}\)

7. \(\{ −3, −2, 0, 2, 5\}\)

Figura \({15}\)

9. \(\{0, 0.3, 0.6, 0.9, 1.2\}\)

Figura \({16}\)

11. \(\{−6, 0, 3, 9, 12\}\)

Figura \({17}\)

Ejercicio \({6}\)

Complete el espacio en blanco con \(<, =\), o \(>\).

1. \(−7\)___\(0\)
2. \(30\)___\(2\)
3. \(10\)___\(−10\)
4. \(−150\)___\(−75\)
5. \(−0.5\)___\(−1.5\)
6. \(0\)___\(0\)
7. \(-500\)___\(200\)
8. \(−1\)___\(−200\)
9. \(−10\)___\(−10\)
10. \(−40\)___\(−41\)

Respuesta

1. \(<\)

3. \(>\)

5. \(>\)

7. \(<\)

9. \(=\)

Ejercicio \({7}\)

Verdadero o falso.

1. \(5≠7\)
2. \(4=5\)
3. \(1≠1\)
4. \(−5>−10\)
5. \(4 \leq 4\)
6. \(−12 \geq 0\)
7. \(−10=−10\)
8. \(3>3\)
9. \(−1000<−20\)
10. \(0=0\)

Respuesta

1. Verdadero

3. Falso

5. Verdadero

7. Verdadero

9. Verdadero

>

Ejercicio \({8}\)

Enumere los números.

1. Enumere tres enteros menores que \(-5\).
2. Enumere tres enteros mayores que \(-10\).
3. Enumere tres números racionales menores que cero.
4. Enumere tres números racionales mayores que cero.
5. Enumere tres números enteros entre \(-20\) y \(-5\).
6. Enumere tres números racionales entre \(0\) y \(1\).

Respuesta

1. \(−10, −7, −6\) (Las respuestas pueden variar)

3. \(−1, −2/3, −1/3\) (Las respuestas pueden variar)

5. \(−15, −10, −7\) (Las respuestas pueden variar)

Ejercicio \({9}\)

Traduce cada declaración a una oración en español.

1. \(10<20\)
2. \(−50 \leq −10\)
3. \(−4 \neq 0\)
4. \(30 \geq −1\)
5. \(0=0\)
6. \(e \approx 2.718\)

Respuesta

1. Diez es menos que veinte.

3. El cuatro negativo no es igual a cero.

5. Cero es igual a cero.

Ejercicio \({10}\)

Traduzca lo siguiente en un enunciado matemático.

1. El siete negativo es menor que cero.
2. Veinticuatro no es igual a diez.
3. Cero es mayor o igual que uno negativo.
4. Cuatro es mayor o igual a veintiuno menos.
5. El negativo dos es igual al negativo dos.
6. Dos mil negativos es menos que mil negativos.

Respuesta

1. \(−7<0\)

3. \(0 \geq −1\)

5. \(−2=−2\)

Ejercicio \({11}\)

Simplificar.

1. \(−(−9)\)
2. \(−(−35)\)
3. \(−(10)\)
4. \(−(3)\)
5. \(−(5)\)
6. \(−(34)\)
7. \(−(−1)\)
8. \(−(−(−1))\)
9. \(−(−(1))\)
10. \(−(−(−3))\)
11. \(−(−(−(−11)))\)

Respuesta

1. \(9\)

3. \(−10\)

5. \(−5\)

7. \(1\)

9. \(1\)

11. \(11\)

Ejercicio \({12}\)

Responde las siguientes preguntas.

1. ¿Cuál es el opuesto de \(-12 \)?
2. ¿Qué es lo opuesto a \(\pi\)?
3. ¿Cuál es el opuesto de \(-0.01\)?
4. ¿Es el opuesto de \(-12\) más pequeño o más grande que \(-11\)?
5. ¿Es lo contrario de \(7\) más pequeño o más grande que \(-6\)?

Respuesta

2. \(-\pi\)

4. Larger

Ejercicio \({13}\)

Complete el espacio en blanco con \ (& lt ;, = \) o \ (& gt; \).

1. \(−7\)___\(−(−8)\)
2. \(6\)___\(−(6)\)
3. \(13\)___\(−(−12)\)
4. \(−(−5)\)___\(−(−2)\)
5. \(−100\)___\(−(−(−50))\)
6. \(44\)___\(−(−44)\)

Respuesta

1. \(<\)

3. \(>\)

5. \(<\)

Ejercicio \({14}\)

Simplificar.

1. \(|20|\)
2. \(|−20|\)
3. \(|−33|\)
4. \(|−0.75|\)
5. \(|−\frac{3}{5}|\)
6. \(|38|\)
7. \(|0|\)
8. \(|1|\)
9. \(−|12|\)
10. \(−|−20|\)
11. \(−|20|\)
12. \(−|−8|\)
13. \(−|7|\)
14. \(−|−316|\)
15. \(−(−|\frac{8}{9}|)\)
16. \(|−(−2)|\)
17. \(−|−(−3)|\)
18. \(−(−|5|)\)
19. \(−(−|−45|)\)
20. \(−|−(−21)|\)
21. abs\((6)\)
22. abs\((−7)\)
23. \(−\)abs\((5)\)
24. \(−\)abs\((−19)\)
25. \(−(−\)abs\((9))\)
26. \(−\)abs\((−(−12))\)

Respuesta

1. \(20\)

3. \(33\)

5. \(\frac{3}{5}\)

7. \(0\)

9. \(−12\)

11. \(−20\)

13. \(−7\)

15. \(\frac{8}{9}\)

17. \(−3\)

19. \(45\)

21. \(6\)

23. \(−5\)

25. \(9\)

Ejercicio \({15}\)

Determine lo desconocido.

1. \(| ? |=9\)
2. \(| ? |=15\)
3. \(| ? |=0\)
4. \(| ? |=1\)
5. \(| ? |=−8\)
6. \(| ? |=−20\)
7. \(|?|−10=−2\)
8. \(|?|+5=14\)

Respuesta

1. \(\pm 9\)

3. \(0\)

5. \(\varnothing\), No existe solución

7. \(\pm 8\)

Ejercicio \({16}\)

Complete el espacio en blanco con \(<,=\) o \(>\).

1. \(|−2|\) ____ \(0\)
2. \(|−7|\) ____ \(|−10|\)
3. \(−10\) ____ \(−|−2|\)
4. \(|−6|\) ____ \(|−(−6)|\)
5. \(−|3|\) ____ \(|−(−5)|\)
6. \(0\) ____ \(−|−(−4)|\)

Respuesta

1. \(>\)

3. \(<\)

5. \(<\)

Ejercicio \({17}\)

Temas del tablero de discusión.

1. Investigue y analice la historia del número cero.
2. Investigue y analice los distintos sistemas de numeración a lo largo de la historia.
3. Investigue y analice la definición y la historia de \ (\ pi \).
4. Investiga la historia de los números irracionales. ¿A quién se le atribuye la prueba de que la raíz cuadrada de \ (2 \) es irracional y qué le sucedió?
5. Investigue y analice la historia del valor absoluto.
6. Discuta la definición de valor absoluto "simplemente hágalo positivo"